Surfaces de révolution

Définition

Soit `\text{P}` un point et `(a)` une droite de l'espace.
Soit `\text{H}` le projeté orthogonal de `\text{P}` sur `(a)` et `\alpha` un nombre réel positif.
Dans l'espace, on appelle rotation d'axe `(a)` et d'angle `\alpha` la transformation qui à tout point `\text{P}`  associe l'unique point `\text{P}^\prime` tel que `\text{H}` est le projeté orthogonal de `\text{P}^\prime` sur `(a)` et \(\widehat{\text{PHP}'}=\alpha\).

Propriété

L'ensemble des points images de `\text{P}` par les rotations d'axe `(a)` et d'angles `\alpha` compris entre `0°` et `360°` est le cercle de centre `\text{H}` et de rayon de longueur `\text{PH}`.

Propriété

Soit \(\mathcal C\) une courbe de l'espace. L'ensemble des images des points de \(\mathcal C\) par les rotations d'axe `(a)` et d'angles \(\alpha\) compris entre `0°` et \(360°\) est une surface \(\mathcal S\).
On dit que \(\mathcal S\) est engendrée par révolution de \(\mathcal C\) autour de `(a)`.

Exemple

L'image suivante montre une portion d'une surface engendrée par la révolution d'une courbe autour d'un axe dans l'espace.